АНАЛОГ ПРИНЦИПУ МАКСИМУМУ ДЛЯ КОЛИВНИХ ПРОЦЕСIВ

Анотація

Принцип максимуму є дiєвим iнструментом для дослiдження якiсних властивостей розв’язкiв рiвнянь в частинних похiдних. Як вiдомо з курсу рівнянь математичної фiзики, для рiвнянь елiптичного та параболiчного типів принцип максимуму є дослiдженим, відомим фактом, а також вивчено його застосування в прикладних задачах математичної фiзики. Водночас, для рiвнянь гiперболiчного типу класичний принцип максимуму не виконується, але виникає потреба в його доведенні, навіть в слабкому вигляді, та його подальшому застосуванні як дієвого інструменту дослідження якісних властивостей розв’язків рівнянь гіперболічного типу. Наразi є лише деякі результати, в яких було побудовано принцип максимуму для гіперболічних рівнянь та систем другого порядку.  Отже, дослiдження аналогiв принципу максимуму для різноманітних рiвнянь гiперболiчного типу є актуальною проблемою в теорії рiвнянь в частинних похiдних.

 Об’єкт дослiдження: Хвильове рiвняння, принцип максимуму, задача Коші для рівняння коливання струни з молодшими членами; задачі на характеристиках.

Предмет дослiдження: Аналог принципу максимум для рiвнянь гiперболiчного типу. Мета роботи: Доведення аналогу принципу максимуму для рiвнянь гiперболiчного типу

з молодшими членами. Для реалiзацiї поставленої мети в роботі вирішено наступні завдання: вивчено метод отримання  принципу максимуму для простішого гіперболічного рівняння коливання одновимірної струни без молодших членів, який полягає в методі характеристик, та застосуванні теореми Стокса у випадку класичних розв’язків; отримано за допомогою вивченого методу аналогу принципу максимуму для хвильового рiвняння з молодшим членами типу амплітуд; отримано слабкий принцип максимуму для хвильового рiвняння з молодшими членами першого порядку. Науковою новизною роботи є доведення принципу максимуму для гiперболiчних рiвнянь другого порядку з молодшими членами, який використовується при доведенні теореми єдиності та неперервної залежності розв’язку мішаних задач, а також задачі Коші для таких рівнянь. Наведено також фізичні моделі та їх аналіз, які приводять для рівнянь в частинних похідних даного виду.