АНАЛОГ ПРИНЦИПУ МАКСИМУМУ ДЛЯ КОЛИВНИХ ПРОЦЕСIВ

##plugins.themes.bootstrap3.article.main##

Ю. А. Андреєва
К. О. Буряченко

Анотація

Принцип максимуму є дiєвим iнструментом для дослiдження якiсних властивостей розв’язкiв рiвнянь в частинних похiдних. Як вiдомо з курсу рівнянь математичної фiзики, для рiвнянь елiптичного та параболiчного типів принцип максимуму є дослiдженим, відомим фактом, а також вивчено його застосування в прикладних задачах математичної фiзики. Водночас, для рiвнянь гiперболiчного типу класичний принцип максимуму не виконується, але виникає потреба в його доведенні, навіть в слабкому вигляді, та його подальшому застосуванні як дієвого інструменту дослідження якісних властивостей розв’язків рівнянь гіперболічного типу. Наразi є лише деякі результати, в яких було побудовано принцип максимуму для гіперболічних рівнянь та систем другого порядку.  Отже, дослiдження аналогiв принципу максимуму для різноманітних рiвнянь гiперболiчного типу є актуальною проблемою в теорії рiвнянь в частинних похiдних.


 Об’єкт дослiдження: Хвильове рiвняння, принцип максимуму, задача Коші для рівняння коливання струни з молодшими членами; задачі на характеристиках.


Предмет дослiдження: Аналог принципу максимум для рiвнянь гiперболiчного типу. Мета роботи: Доведення аналогу принципу максимуму для рiвнянь гiперболiчного типу


з молодшими членами. Для реалiзацiї поставленої мети в роботі вирішено наступні завдання: вивчено метод отримання  принципу максимуму для простішого гіперболічного рівняння коливання одновимірної струни без молодших членів, який полягає в методі характеристик, та застосуванні теореми Стокса у випадку класичних розв’язків; отримано за допомогою вивченого методу аналогу принципу максимуму для хвильового рiвняння з молодшим членами типу амплітуд; отримано слабкий принцип максимуму для хвильового рiвняння з молодшими членами першого порядку. Науковою новизною роботи є доведення принципу максимуму для гiперболiчних рiвнянь другого порядку з молодшими членами, який використовується при доведенні теореми єдиності та неперервної залежності розв’язку мішаних задач, а також задачі Коші для таких рівнянь. Наведено також фізичні моделі та їх аналіз, які приводять для рівнянь в частинних похідних даного виду.

##plugins.themes.bootstrap3.article.details##

Розділ
МАТЕМАТИЧНА ТА ОБЧИСЛЮВАЛЬНА ФІЗИКА
Біографії авторів

Ю. А. Андреєва, Донецький національний університет імені Василя Стуса Вінниця, Україна

Магістр математики, Донецький національний університет імені Василя Стуса Вінниця, Україна

К. О. Буряченко, Донецький національний університет імені Василя Стуса Вінниця, Україна

Канд. фіз.-мат.наук, доцент, Донецький національний університет імені Василя Стуса Вінниця, Україна

Посилання

Protter M. Maximum principle in Differential Equations / M. Protter, H. Weinberger // Springer-Verlag New York. Inc. – 1984. – 261 p. – Режим доступу: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5282-5

Mawhin J. Maximum principle for bounded solutions of the telegraph equation in 2- and 3-dim. and applications / J. Mawhin, R. Ortega, A. Robles-Perez // Journal of Differential Equations. – 2005. – Vol. 208, No. 1. – pp. 42–63. – Режим доступу: https://doi.org/10.1016/S1631-073X(02)02406-8

Agmon S. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type / S. Agmon, L. Nirenberg, M. Protter // Comm. on Pure and Applied Math. – 1953. – Vol. 6, No. 4. – pp. 455–470. – Режим доступу: https://doi.org/10.1002/cpa.3160060402

Clain S. Finite volume maximum principle for hyperbolic scalar problems / S. Clain // SIAM J. Num. Anal. – 2013. – Vol. 51, No. 1. – pp. 467-490. – Режим доступу: https://doi.org/10.1137/110854278

Wang F. Existence and multiplicity results of positive doubly periodic solutions for nonlinear telegraph system / F. Wang, Y. An// Journal of Math. Analysis and Application. – 2009. – Vol. 349, No. 1. – pp. 30–42. – Режим доступу: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.08.003

Li Y. Positive doubly periodic solutions of nonlinear telegraph equations / Y. Li // Nonlilear Analysis. – 2003. – Vol. 30, No. 3. – pp. 1104-1125. – Режим доступу: https://doi.org/10.3934/era.2022059

Duffin R. J. The maximum principle and biharmonic functions / R. J. Duffin // Journal of Math. Anal. and Applic. – 1961. – pp. 399-405. – Режим доступу: https://doi.org/10.1016/0022-247X(61)90066-X

Protter M. H. A maximum principle for hyperbolic equations in a neighborhood of an initial line / M. H. Protter // Trans. of the Amer. Math. Soc. – 1958. – Vol. 87, No. 1. – pp. 119-129. – Режим доступу: https://www.ams.org/journals/tran/1958-087-01/S0002-9947-1958-0097611-2/S0002-9947-1958-0097611-2.pdf

Sather D. A maximum property of Cauchy's problem for the wave operator / D. A Sather // Arch. For Rat. Mech. and Anal. – 1966. – Vol. 19, No. 1. – pp. 303-309. – Режим доступу: https://msp.org/pjm/1966/19-1/pjm-v19-n1-p12-s.pdf

Sather D. Maximum and monotonicity properties of initial-boundary value problems for hyperbolic equations / D. Sather // Pacific J. of Math. – 1966. – Vol. 19, No. 1. – pp. 141-157. – Режим доступу: https://msp.org/pjm/1966/19-1/pjm-v19-n1-p12-s.pdf

Sousa R. (2019). The hyperbolic maximum principle approach to the construction of generalized convolutions / R. Sousa, M. Guerra, S. Yakubovich // In Special Functions and Analysis of Differential Equations. – 2019. – pp. 119-159 – Режим доступу: https://doi.org/10.48550/arXiv.1901.10357

Sloss J. M. Maximum principle for the optimal control of a hyperbolic equation in one space dimension, part 1: Theory / J. M. Sloss, I. S. Sadek, Jr. Bruch, S. Adali // Journal of Optimization Theory and Applications. – 1995. – Vol. 87. – pp. 33–45. – Режим доступу: https://doi.org/10.1007/BF02192565