АНАЛОГ ПРИНЦИПУ МАКСИМУМУ ДЛЯ КОЛИВНИХ ПРОЦЕСIВ
##plugins.themes.bootstrap3.article.main##
Анотація
Принцип максимуму є дiєвим iнструментом для дослiдження якiсних властивостей розв’язкiв рiвнянь в частинних похiдних. Як вiдомо з курсу рівнянь математичної фiзики, для рiвнянь елiптичного та параболiчного типів принцип максимуму є дослiдженим, відомим фактом, а також вивчено його застосування в прикладних задачах математичної фiзики. Водночас, для рiвнянь гiперболiчного типу класичний принцип максимуму не виконується, але виникає потреба в його доведенні, навіть в слабкому вигляді, та його подальшому застосуванні як дієвого інструменту дослідження якісних властивостей розв’язків рівнянь гіперболічного типу. Наразi є лише деякі результати, в яких було побудовано принцип максимуму для гіперболічних рівнянь та систем другого порядку. Отже, дослiдження аналогiв принципу максимуму для різноманітних рiвнянь гiперболiчного типу є актуальною проблемою в теорії рiвнянь в частинних похiдних.
Об’єкт дослiдження: Хвильове рiвняння, принцип максимуму, задача Коші для рівняння коливання струни з молодшими членами; задачі на характеристиках.
Предмет дослiдження: Аналог принципу максимум для рiвнянь гiперболiчного типу. Мета роботи: Доведення аналогу принципу максимуму для рiвнянь гiперболiчного типу
з молодшими членами. Для реалiзацiї поставленої мети в роботі вирішено наступні завдання: вивчено метод отримання принципу максимуму для простішого гіперболічного рівняння коливання одновимірної струни без молодших членів, який полягає в методі характеристик, та застосуванні теореми Стокса у випадку класичних розв’язків; отримано за допомогою вивченого методу аналогу принципу максимуму для хвильового рiвняння з молодшим членами типу амплітуд; отримано слабкий принцип максимуму для хвильового рiвняння з молодшими членами першого порядку. Науковою новизною роботи є доведення принципу максимуму для гiперболiчних рiвнянь другого порядку з молодшими членами, який використовується при доведенні теореми єдиності та неперервної залежності розв’язку мішаних задач, а також задачі Коші для таких рівнянь. Наведено також фізичні моделі та їх аналіз, які приводять для рівнянь в частинних похідних даного виду.
##plugins.themes.bootstrap3.article.details##
Посилання
Protter M. Maximum principle in Differential Equations / M. Protter, H. Weinberger // Springer-Verlag New York. Inc. – 1984. – 261 p. – Режим доступу: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5282-5
Mawhin J. Maximum principle for bounded solutions of the telegraph equation in 2- and 3-dim. and applications / J. Mawhin, R. Ortega, A. Robles-Perez // Journal of Differential Equations. – 2005. – Vol. 208, No. 1. – pp. 42–63. – Режим доступу: https://doi.org/10.1016/S1631-073X(02)02406-8
Agmon S. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type / S. Agmon, L. Nirenberg, M. Protter // Comm. on Pure and Applied Math. – 1953. – Vol. 6, No. 4. – pp. 455–470. – Режим доступу: https://doi.org/10.1002/cpa.3160060402
Clain S. Finite volume maximum principle for hyperbolic scalar problems / S. Clain // SIAM J. Num. Anal. – 2013. – Vol. 51, No. 1. – pp. 467-490. – Режим доступу: https://doi.org/10.1137/110854278
Wang F. Existence and multiplicity results of positive doubly periodic solutions for nonlinear telegraph system / F. Wang, Y. An// Journal of Math. Analysis and Application. – 2009. – Vol. 349, No. 1. – pp. 30–42. – Режим доступу: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.08.003
Li Y. Positive doubly periodic solutions of nonlinear telegraph equations / Y. Li // Nonlilear Analysis. – 2003. – Vol. 30, No. 3. – pp. 1104-1125. – Режим доступу: https://doi.org/10.3934/era.2022059
Duffin R. J. The maximum principle and biharmonic functions / R. J. Duffin // Journal of Math. Anal. and Applic. – 1961. – pp. 399-405. – Режим доступу: https://doi.org/10.1016/0022-247X(61)90066-X
Protter M. H. A maximum principle for hyperbolic equations in a neighborhood of an initial line / M. H. Protter // Trans. of the Amer. Math. Soc. – 1958. – Vol. 87, No. 1. – pp. 119-129. – Режим доступу: https://www.ams.org/journals/tran/1958-087-01/S0002-9947-1958-0097611-2/S0002-9947-1958-0097611-2.pdf
Sather D. A maximum property of Cauchy's problem for the wave operator / D. A Sather // Arch. For Rat. Mech. and Anal. – 1966. – Vol. 19, No. 1. – pp. 303-309. – Режим доступу: https://msp.org/pjm/1966/19-1/pjm-v19-n1-p12-s.pdf
Sather D. Maximum and monotonicity properties of initial-boundary value problems for hyperbolic equations / D. Sather // Pacific J. of Math. – 1966. – Vol. 19, No. 1. – pp. 141-157. – Режим доступу: https://msp.org/pjm/1966/19-1/pjm-v19-n1-p12-s.pdf
Sousa R. (2019). The hyperbolic maximum principle approach to the construction of generalized convolutions / R. Sousa, M. Guerra, S. Yakubovich // In Special Functions and Analysis of Differential Equations. – 2019. – pp. 119-159 – Режим доступу: https://doi.org/10.48550/arXiv.1901.10357
Sloss J. M. Maximum principle for the optimal control of a hyperbolic equation in one space dimension, part 1: Theory / J. M. Sloss, I. S. Sadek, Jr. Bruch, S. Adali // Journal of Optimization Theory and Applications. – 1995. – Vol. 87. – pp. 33–45. – Режим доступу: https://doi.org/10.1007/BF02192565