ОЦІНКА КОРЕЛЯЦІЙНОЇ РОЗМІРНОСТІ АТРАКТОРІВ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ МАТРИЧНИХ ОБЧИСЛЕНЬ (CDM - МЕТОД)
##plugins.themes.bootstrap3.article.main##
Анотація
У роботі досліджено методи оцінювання кореляційної розмірності атракторів динамічних систем, що є інваріантною мірою неоднорідності фрактальної структури атракторів. На основі алгоритму Грасбергера–Прокачча було розроблено та протестовано метод обчислення кореляційної розмірності на основі матричних обчислень, що передбачає побудову матриці відстаней між точками атрактора у фазовому просторі. Алгоритм включає сортування цієї матриці та аналіз графіка логарифмічної залежності. Розроблені методи були застосовані до «еталонних» атракторів: логістичне відображення, відображення Енона, атрактори Каплана–Йорка, Заславського, системи Лоренца, Ресслера та Рабіновича–Фабриканта. Це дозволило підтвердити теоретичні аспекти експериментальними результатами. Завдяки застосуванню матричних обчислень вдалося досягти не лише підвищення швидкості виконання розрахунків, але й точності оцінок, оскільки метод враховує всі точки атрактора. Описані методи можуть бути застосовані до широкого класу задач фізичної та економічної динаміки.
##plugins.themes.bootstrap3.article.details##
Посилання
Moon, F. C. Chaotic vibrations: an introduction for applied scientists and engineers // Research supported by NSF. — 1987.
Van der Pol, B. Theory of the amplitude of free and forced triode vibrations // Radio review. — 1920. — Т. 1. — С. 701-710.
Hausdorff, F. Dimension und äußeres Maß // Mathematische Annalen. — 1918. — Т. 79, № 1. — С. 157-179.
Besicovitch, A. S. On linear sets of points of fractional dimension // Mathematische Annalen. — 1929. — Т. 101, № 1. — С. 161-193.
Rényi, A. On measures of entropy and information // Proceedings of the fourth Berkeley symposium on mathematical statistics and probability, volume 1: contributions to the theory of statistics. — University of California Press, 1961. — Т. 4. — С. 547-562.
Falconer, K. Fractal geometry: mathematical foundations and applications. — John Wiley & Sons, 2004.
Grassberger, P., Procaccia, I. Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D: nonlinear phenomena. — 1983. — Т. 9, № 1-2. — С. 189-208. DOI: 10.1016/0167-2789(83)90298-1.
Malraison, B., Atten, P., Berge, P., Dubois, M. Dimension of strange attractors: an experimental determination for the chaotic regime of two convective systems // Journal de Physique lettres. — 1983. — Т. 44, № 22. — С. 897-902. DOI: 10.1051/jphyslet:019830044022089700.
Swinney, H. L. Observations of complex dynamics and chaos // Fundamental problems in statistical mechanics VI. — 1985. — С. 253-289.
Ciliberto, S., Gollub, J. P. Chaotic mode competition in parametrically forced surface waves // Journal of Fluid Mechanics. — 1985. — Т. 158. — С. 381-398. DOI: 10.1017/S0022112085002701.
Moon, F. C., Li, G. X. The fractal dimension of the two-well potential strange attractor // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1985. — Т. 17, № 1. — С. 99-108. DOI: 10.1016/0167-2789(85)90137-X.
Aderemi, F. L., Oladele, B. O. Estimation of correlation dimension from earthquake data using grassberger and procaccia algorithm // Austr. J. Sci. Technol. — 2021. — Т. 5, № 3. — С. 621-625.
Lee, M. Fractal Analysis of GPT-2 Token Embedding Spaces: Stability and Evolution of Correlation Dimension // Fractal and Fractional. — 2024. — Т. 8, № 10. — С. 603.
Benmizrachi, A., Procaccia, I., Grassberger, P. Baker's Map // Chaos. — 2021.
Krakovská, A., Chvosteková, M. Simple correlation dimension estimator and its use to detect causality // Chaos, Solitons & Fractals. — 2023. — Т. 175. — С. 113975.
Henon, M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Communications in Mathematical Physics. — 1976. — Т. 50. — С. 376-392. DOI: 10.1007/978-0-387-21830-4_8.
Kaplan, J. L., Yorke, J. A. Functional differential equations and approximation of fixed points // Lecture notes in mathematics. — 1979. — Т. 730. — С. 204-227.
Zaslavsky, G. M. The simplest case of a strange attractor // Physics Letters A. — 1978. — Т. 69, № 3. — С. 145-147. DOI: 10.1016/0375-9601(78)90195-0.
Lorenz, E. N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of atmospheric sciences. — 1963. — Т. 20, № 2. — С. 130-141. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
Rössler, O. E. An equation for continuous chaos // Physics Letters A. — 1976. — Т. 57, № 5. — С. 397-398. DOI: 10.1016/0375-9601(76)90101-8.
Rabinovich, M. I., Fabrikant, A. L. Stochastic self-modulation of waves in nonequilibrium media // J. Exp. Theor. Phys. — 1979. — Т. 77. — С. 617-629.
Butcher, J. C. Numerical methods for ordinary differential equations. — John Wiley & Sons, 2016.