АСИМПТОТИКА СУМІШІ БАГАТОВИМІРНИХ РІВНЯНЬ ВІДНОВЛЕННЯ В НЕЛІНІЙНОМУ НОРМУВАННІ

Анотація

Стаття присвячена дослідженню багатовимірних рівнянь відновлення, які виникають у контексті аналізу випадкових процесів та застосовуються в задачах математичної статистики, теорії надійності, економіки, фізики складних систем тощо. Розглядається підхід, за якого дослідження цих рівнянь проводиться в умовах нелінійної апроксимації. Основна ідея полягає у нормуванні часу за допомогою нескінченно малого нелінійного множника при певному параметрі, що прямує до нуля  при  Така зміна масштабу дозволяє істотно розширити область дослідження та більш точно описати динаміку процесів, зокрема фіксувати короткотривалі зміни, стрибки та переходи між станами.

Рівняння відновлення формулюються в матричному вигляді, що дає змогу врахувати структуру взаємозв’язків між компонентами векторного процесу. Розглядаються випадки, коли процеси мають марковську природу або складаються з незалежних приростів. У цьому контексті важливою є побудова моделі, яка є сумішшю двох багатовимірних рівнянь відновлення. Для кожного з них виписано всі необхідні умови існування та коректності, задано відповідні ймовірності реалізації, визначено функції відновлення та побудовано ймовірнісну модель.

Окрема увага приділена отриманню розв’язків рівнянь у термінах умовного математичного сподівання, що дозволяє встановити зв’язок між розв’язками рівнянь та характеристиками відповідних процесів. У результаті дослідження для розглянутої суміші знайдено граничне представлення за умов слабкої збіжності при малому параметрі. Це дозволяє сформулювати та довести граничну теорему, яка описує поведінку суміші багатовимірних рівнянь відновлення з нелінійними нормуючими множниками у асимптотичному режимі.