ЯКІСНИЙ ТА ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛІЗ РІВНЯННЯ ЛАЗЕРНОГО ІМПУЛЬСУ

Анотація

Дослідження рівняння лазерного імпульсу, а також початкових та початково-крайових (мішаних) задач для цього рівняння є доволі актуальною темою у дослідників, завдяки чисельним його застосуванням. Розвиток сучасних технологій дозволяють широко використовувати лазерні випромінювання в біологічних дослідженнях (лабораторні експерименти), медицині (лазерна хірургія, лазерна терапія) та косметології, промисловості (технології різання, зварювання, фарбування, тощо), в комерційній діяльності, системах передачі інформації. Варто відмітити розширення застосування лазерних випромінювань в сучасних технологіях зв’язку. Завдяки тому, що лазер здатен переносити набагато більше інформації, ніж радіохвилі, лазерні технології виходять зараз на перше місце, по зрівнянню з радіотехнікою. Водночас, на даний момент лазерні імпульси досліджуються здебільшого чисельними методами. Це пов’язано з тим, що отримати явний аналітичний розв’язок в деяких випадках є доволі складною задачею. Однак,  явний аналітичний розв’язок дозволяє досліджувати багато якісних властивостей, що є доволі цінним в плані розвитку математичної теорії лазерного випромінювання. В поданій роботі з використання методу Фур’є, ми отримуємо явний аналітичний розв’язок першої мішаної задачі  для рівняння лазерного імпульсу четвертого порядку. Одним з дієвих інструментів для дослідження якісних властивостей розв’язків крайових задач  в математичної фізиці є  також принцип максимуму. Проблема полягає в тому, що в класичній теорії математичної фізики принцип максимуму добре вивчений саме для параболічних та еліптичних рівнянь. Рівняння лазерного імпульсу, яке досліджується в даній роботі, є  рівнянням гіперболічного типу, для яких принцип максимуму не існує в класичному формулюванні, крім того,  це є рівняння високого, четвертого порядку. Всі ці нюанси роблять поставлену в даній роботі задачу актуальною як з математичної точки зору, що дозволяє збільшити теоретичні наробки в даній проблематиці, так і з точки зору подальших застосувань лазерних технологій в різних галузях.